Winkelfunktionen (Sinus, Kosinus, Tangens) und ihre Anwendung
Die Winkelfunktionen Sinus ($\sin$), Kosinus ($\cos$) und Tangens ($\tan$) sind die Grundbausteine der Trigonometrie. Sie beschreiben die Verhältnisse zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und sind unverzichtbar für die Analyse von Winkeln und Seitenlängen in Geometrie, Physik und Ingenieurwissenschaften.
1. Definition der Winkelfunktionen
In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten:
- $a$: Gegenkathete (gegenüber dem betrachteten Winkel $\alpha$),
- $b$: Ankathete (benachbart zum Winkel $\alpha$),
- $c$: Hypotenuse (die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel),
werden die Winkelfunktionen wie folgt definiert:
- Sinus ($\sin$): Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse.sin(α)=GegenkatheteHypotenuse=ac\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}sin(α)=HypotenuseGegenkathete=ca
- Kosinus ($\cos$): Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse.cos(α)=AnkatheteHypotenuse=bc\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}cos(α)=HypotenuseAnkathete=cb
- Tangens ($\tan$): Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete.tan(α)=GegenkatheteAnkathete=ab\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b}tan(α)=AnkatheteGegenkathete=ba
2. Anwendung der Winkelfunktionen
Die Winkelfunktionen finden in vielen praktischen Anwendungen Verwendung:
Beispiel 1: Berechnung einer Seite in einem rechtwinkligen Dreieck
Ein Mast wirft einen Schatten von $10 , \text{m}$. Der Winkel der Sonneneinstrahlung beträgt $30^\circ$. Berechne die Höhe des Masts.
Lösung:
- Gegeben: $\tan(30^\circ) = \frac{\text{Höhe}}{\text{Schattenlänge}} = \frac{h}{10}$
- Nach $h$ auflösen:
$h = 10 \cdot \tan(30^\circ)$
$h \approx 10 \cdot 0.577 = 5.77 , \text{m}$
Der Mast ist etwa $5.77 , \text{m}$ hoch.
Beispiel 2: Berechnung eines Winkels
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Gegenkathete $5 , \text{cm}$ und die Hypotenuse $13 , \text{cm}$ gegeben. Bestimme den Winkel $\alpha$.
Lösung:
- Verwende die Sinus-Funktion:
$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{5}{13}$ - Winkel berechnen:
$\alpha = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22.62^\circ$
Der Winkel $\alpha$ beträgt etwa $22.62^\circ$.
Beispiel 3: Anwendung in der Navigation
Ein Schiff fährt $20 , \text{km}$ nach Norden und $15 , \text{km}$ nach Osten. Berechne die direkte Entfernung zum Ausgangspunkt und den Winkel der zurückgelegten Strecke relativ zur Nordrichtung.
Lösung:
- Direkte Entfernung (Hypotenuse):
$c = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 , \text{km}$ - Winkel $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{15}{20} = 0.75$
$\alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ$
Das Schiff ist $25 , \text{km}$ entfernt und hat eine Abweichung von etwa $36.87^\circ$ zur Nordrichtung.
3. Grafische Darstellung der Winkelfunktionen
Die Sinus-, Kosinus- und Tangens-Funktionen können im Einheitskreis veranschaulicht werden. Der Einheitskreis hat einen Radius von $1$, und die Koordinaten eines Punktes auf dem Kreis können als Werte von $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ interpretiert werden.
Einheitskreis mit Sinus und Kosinus:
4. Zusammenfassung der Formeln
- Sinus:
$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ - Kosinus:
$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ - Tangens:
$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ - Zusammenhang:
$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$
Übungsaufgaben
- Berechne den Winkel $\alpha$, wenn die Gegenkathete $7 , \text{cm}$ und die Ankathete $24 , \text{cm}$ sind.
- Ein Gebäude ist $15 , \text{m}$ hoch, der Abstand zum Beobachter beträgt $20 , \text{m}$. Berechne den Winkel der Sichtlinie.
- Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse von $10 , \text{cm}$ und einem Winkel $\alpha = 30^\circ$. Berechne die fehlenden Seiten.